Zanimljivosti iz matematike

Tri jarana su se i tog jutra našli u kafanici.
Posedeli malo i kad da plate račun, konobar kaže 25 evra. Svako od njih da po 10 evra.
Konobar, kao po običaju, kaže da nema da vrati sitan kusur 5 evra već vrati svakom po
jedan evro, a dva zadrži za sebe. Dakle, svako od njih je platio po 10-1=9 evra, 9 puta
3=27 i dva koja je uzeo konobar, to su 27+2=29 evra. Gde je onaj 1 evro?

Nije  27+2 nego 27-2. To je cijena koju su trebali platit, tj. 25, koju se dobije kad se od svega što su dali oduzme konobarov samoinicijativni bakšiš.
Ako se računa sveukupni iznos koji su dali na početku, to je 25 (stvarna cijena) + 3 kusura + 2 ukradenog kusura = 30.

Pitagora je proučavao svojstva prirodnih brojeva koja su i dan danas poznata, kao na primer parni i neparni brojevi, savršeni brojevi itd.

Po njemu, svaki broj ima čak i svoje osobine: muški i ženski, savršen ili nepotpun, lep ili ružan. Postojao je i najbolji od svih brojeva: broj 10, kojeg su prepoznali kao zbir prva četiri prirodna broja
(1 + 2 + 3 + 4 = 10).

Pitagora je zaključio da je zbir uglova u trouglu 180 stepeni.

Naravno, mi danas pamtimo Pitagoru po poznatoj Pitagorinoj teoremi.
Pitagorina teorema je jedna od osnovnih i najznačajnijih matematičkih teorema.

” Kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad katetama.”

Nobelova nagrada je ustanovljena testamentom Alfreda Nobela,Svedjanina,koji je bio hemicar, industrijalac i pronalazac dinamita. Od 1901. dodjeljivane su nagrade za dostignuca u oblasti fizike, hemije, psihologije, medicine, knjizevnosti i mira- ali ne i matematike.
Legenda kaze da je Nobel ignorisao matematiku zato sto ga je ljubavnica ili zena ostavila zbog matematicara Geste Mitag Leflera.Ipak,ne postoji nikakav istorijski dokaz za ovu pricu. Vjerovatnije je Nobel iskljucio matematiku jer je nije smatrao prakticnom naukom koja ima veliki uticaj na drustvo.

Graditelji su uklapali geometrijske oblike rastumačene tek pet vekova kasnije

Kako je moguće da su za to islamski graditelji znali pola milenijuma ranije od današnjih zapadnjačkih matematičara?
Američki naučnici Piter Lu sa Harvarda i Pol Stajnhard sa Prinstona odgonetnuli su da za uklapanje pločica u složene šare nisu koristili ni šestar, ni lenjir kao što se doskora pretpostavljalo. Postupak ređanja osmislili su još početkom 13. stoleća, već krajem 15. toliko su ga usavršili da je oponašao obrasce tek pre dve-tri decenije nazvane kvazikristali.
Slavni britanski fizičar Rodžer Penrouz prvi je uočio narušavanje ustrojstva slaganja atoma u rešetke 1973. A 11 godina kasnije to je opaženo u metalnim legurama i od tada se ovi oblici zovu lažni ili tobožnji kristali .

Dvojica fizičara su ih ovih dana, u uglednom časopisu "Nauka" (Science), opisali kao mnogougaonike i zvezde, protkane izlomljenim ili cik-cak linijama. Nastali su uklapanjem mnoštva oblika, od višeugaonika do leptir-mašni.

Na crtežima se jasno vidi da su se neimari ravnali prema svojim zamislima, ali nema dokaza kako su pločice izrađene. Pomenuti naučnici pretpostavljaju da nije bilo nimalo teško sastaviti šare kad imate na raspolaganju raznolike pločice.

Pri tome nije bitno da li su sa pet, deset ili dvanaest stranica ili uglova, jer ovakvi oblici olakšavaju da se postavljaju u svakojake položaje jednostavnim okretanjem oko zamišljenog središta. Očigledno je, međutim, da su narušena temeljna geometrijska načela. Šta to znači? Kada se slažu predmeti sa pet, deset ili dvanaest ivica pojavljuju se praznine. Za razliku od šestougaonika od kojih se uobličuje pčelinje saće.

Kako je izbegnuta dotična zamka?

Odgonetku kriju obrasci Rodžera Penrouza kojima se oponašaju kvazikristali. Prema ovom uzoru su naređane pločice u iranskom svetilištu u Isfahanu, sagrađenom još 1453. godine. Na prvi pogled izgleda da su zadivljujući oblici uklopljeni na osnovu strogih pravila, ali se ubrzo uoče odstupanja.

Piter Lu i Pol Stajnhard pretpostavljaju da su ih graditelji namerno tako naređali, iako nisu bili svesni ma kakvih matematičkih načela.

Islamska umetnost, inače, objedinjuje kaligrafske zapise, geometrijske oblike i cvetne uzorke zato što vera zabranjuje prikazivanje ijednog ljudskog lika.

Ugaoni kamen u istoriji numerologije je Pitagora, jedan od najvecih mislilaca, matematcara, filozofa, mistika, astrologa i astronoma Starog Sveta…

Pitagorino ucenje je i dan danas jedna od najvecih tajni, a sigurno je da su sva okultna ucenja na Zapadu izasla iz njegove mistike…

Pitagora je imao veze sa indijskim ucenjem o karmi, Darmi i reinkarnaciji, jer je i sam govorio da tezi oslobodjenju od tocka radjanja, vecnog dolazenja i odlazenja. Ovaj je mistik izvrsio veliki uticaj na Platona, Aristotela i noviju evropsku misao. Osnovna zamisao Pitagorinog ucenja je da se Tajna Univezuma jedino moze dokuciti preko brojeva i formi. Cetiri elementa: vatra, voda, vazduh i zemlja cine Svetu Cetvorostrukost ili Tetraktis. Pitagorejci su tetraktisu upucivali sledecu molitvu:

Blagoslovi nas, o Uzviseni broju!
Ti koji si stvorio bogove i ljude.
O sveti , blagi Tetraktise!
Ti koji odgonetas sustastvo svega
Ti koji si izvor i utociste
Zivotne iskre u tusta promena,
Ucini da spoznamo tajne Vaseljene.

Pitagora i njegovi ucenici postulirali su deset osnovnih oprecnosti:
parno i neparno
ograniceno i neograniceno
jedno i mnostvo
desno i levo
musko i zensko
nepomicno i pokretljivo
pravo i krivo
svetlo i tama
simetricno i nesimetricno
Smatrali su da je Vaseljena zasnovana na ovih deset suprotnosti, te da se iz toga zacinje najlepsa harmonija. Zavisnost zvuka o duzini strune pri jednakoj zategnutosti takode je otkrice pitagorejaca.

Tako 2:1 daje oktavu, 3:2 petinu, a 4:3 cetvrtinu. Ovo ih je vodilo ideji da iza svih stvari stoje brojevi. Oni su, nadalje, smatrali da su brojevi elementi svih stvari pa i samog Kosmosa, koji je za njih bio muzicki instrument ciji su skalu odredivali brojevi.

Pitagorejci su parne brojeve smatrali deljivim, kratkovekim, zenskim i ovozemaljskim, a neparne nedeljivim, muskim i nebeskim. Svaki broj su vezivali za neki ljudski atribut. Tako broj 1 oznacava razum, postojanost, moc samosvest, 2- misljenje, dilemu, 3- dogovor, sklad, ravnotezu, 4-pravednost (buduci da tvori savrsen cetvoraougao), 5 – brak (kao jedinstvo pravog muskog i pravog senskog broja). Po Pitagorejcima, sve znane stvari imaju broj, jer bez broja nije moguce ni znanje ni spoznaja. Od najranijih dana, kada je numerologija pustila korene, ova disiplina se veoma razvila te se stoga ovde iznose primeri okultnog i magisjkog znacenja brojeva.

OKULTNA ZNACENJA BROJEVA

Okultni Apeks (0)
Na pocetku i na kraju svega je 0, Okultni Apex , ono sto u sebi sadrzi sve zakone, sve vibracije, svekoliko postojanje, ono sto se svemu vraca. Nula je beskrajna, nedokuciva, vecna. U njoj nastaje i skoncava zivot.

Broj 1
Po ucenju okultista, kako istocnih tako i zapadnih, ovaj broj je simbol Kosmosa, ali i jedan od bozijih atributa. Jedan predstavlja Boga, bozansko sustastvo i bozansku energiju. Ovaj broj uvek daje sebe, bilo da se deli ili mnozi sa sobom samim.

Broj 2
Prema Pitagorejcima, to je materjalni princip, emanacija fizickog, zemaljskog sveta. Drugi dan drugog meseca u godini bio je posvecen Plutonu, bogu podzemnog, senovitog carstva. Zapadni hermetisti smatrali su da je 2 u znaku davola odnosno Satanino nacelo.

Broj 3
Okultisti veruju da je 3 savrsen broj, jer sadrzi u sebi pocelo, srediste i svrsetak. Nadalje, hriscanski su mistici brojem tri predstavljali Sveto Trojstvo: Otac, Sin i Sveti Duh. Po indijskoj mitologiji, Svet je u znaku triju bogova: Brama, Siva i Visnu, odnosno: bog tvorac, bog odrzavatelj i bog unistitelj. Nesto slicno je i u grckoj (rimskoj) tradiciji. Jupiter vlada Nebom, Neptun morem, a Pluton paklom, podzemnim svetom. Zevs ili Jupiter drzi tri baklje, Neptun trozubac, a Pluton troglavog psa.

Broj 4
Cetiri je broj slova (glasova) u mnogim jezicima, u imenu za Boga: Lord (Gospod, na engleskom), Deus (lat.), Dieu (fr), Adat (asirski), Godt (hol.), Gott (nem.), soru (persijski), godh (dan.) kao i na grckom, egipatskom, hebrejskom, sanskritu. Nadalje, cetiri su strane Sveta, cetiri godisnja doba.

Broj 5
Pet je simbol covekovog jedinstva sa Kosmosom. Na astralnom nivou ispoljava se kao pentragam. Veliki misticni broj, jer je jednak zbiru broja 2, prvog parnog broja i broja 3, prvog medu neparnim brojevima. Sve moci Prirode se sadze u brojevima od 1 do 5, sve tajne bozanske i tvoracke. Jedan je jedinstven, dva raznolikost, tri je njihov spoj (sastav,
ravnoteza), cetiri bozanska pravda, a pet sadrzi sva tvoracka nacela u Kosmosu.

Broj 6
Mistici smatraju da je 6 savrsen broj sam po sebi; ne samo stoga sto je Bog stvorio Svet za sest dana, vec i po tome sto predstavlja ravnotezu u mikro i makrokosmosu. Ovaj broj je jednak zbiru svojih polovina i zbiru svojih trecina.

Broj 7
Sedam se smatra svetim brojem, jer je sedam dana u stvaranju Sveta, sedam dana u nedelji, sedam mesecevih mena. Nadalje, sedam je u znaku magije; u narodnim pricama i bajkama cesto se pominju sedam gora i sedam mora.

Broj 8
Ovo je broj blazdnstva u Jevan|elju po Mateju, a takode i predstavlja suprotnost. Podeljen sa vlastitom polovinom daje 2, simbol materijalnog, odnosno zemaljskog sveta.

Broj 9
Mistican broj, sto je u stvari broj 3 pomnozen sa samim sobom. Savrsenstvo ili potpunost, jedinstvo duhovnog i materjalnog, nebeskog i zemaljskog, muskog i zenskog, toplog i hladnog, mekog i tvrdog, svetla i tame. Po okultistima i teosofima, 9 je broj besmrtnosti, bozanske

Matematika je takodze puna svoje nesavrsenosti, tamo gdje vise nemamo rjesenja pa zaokruzujemo

Uzmite digitron i izracunajte korijen iz 2 = 1,414213562373095
Ako taj broj kliknete na kvarat dobijete = 2

A sada uzmete korijen iz 3= 1,732050807568877
Sad kliknite na kvadrat = 2,9999999999999 Znaci nije tri.

Svi parni brojevi daju tacan rezultat a svi neparni daju priblizan tj zaokruzen( kad kazem na sve mislim na veliku vecinu a da li je za sve tako, pa nije, pogledajte broj 9, 13, 15 ha ha ah)

Mislim ta zaokruzivanja su izmisljena da bi lakse prihvatili da ni danas nemozemo matematiku prkuziti do kraja i da je za nas i dalje ne sasvim istrazena oblast

Vampirski broj je slozeni prirodni broj sa n cifri koji se moze napisati kao proizvod dva broja x i y od kojih svaki ima n/2 cifri. On sadrzi sve cifre brojeva x i y bez obzira na njihov redoslijed.

1260=21*60

126000=210*600

1230=31*30

Pojam vampirski brojevi 1994. godine uveo je Clifford A. Pickover.

Vampirski brojevi su

1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, 125500, ...


Postoji beskonacno mnogo vampirskih brojeva.

1530 = 30×51,

150300 = 300×501,

15003000 = 3000×5001, ...


Neke vampirske brojeve mozemo napisati kao odgovarajuci proizvod dva broja na dva ili vise nacina.


Prvi vampirski broj koji mozemo napisati na dva nacina

125460=204*615=246*510


Prvi vampirski broj koji mozemo napisati na tri nacina

13078260 = 1620 × 8073 = 1863 × 7020 = 2070 × 6318


Prvi vampirski broj koji mozemo napisati na 4 nacina

16758243290880 = 1982736 × 8452080 = 2123856 × 7890480 = 2751840 × 6089832 = 2817360 × 5948208

Prvi vampirski broj koji mozemo napisati na 5 nacina

24959017348650 = 2947050 × 8469153 = 2949705 × 8461530 = 4125870 × 6049395 = 4129587 × 6043950 = 4230765 × 5899410


Pseudovampirski brojevi su slicni vampirskim brojevima.

Pseudovampirski broj n cifri moze ase napisati kao proizvod dva broja x i y, koji ne moraju imati broj cifri n/2.broj cifri moze biti i neparni broj.

126=21*6

Uopsteno oni se mogu napisati kao proizvod vise od dva cinioca

1395=5*9*31

Pseudovampirski brojevi su brojevi

126, 153, 688, 1206, 1255, 1260, 1395, ...

Primarni vampirski broj je pravi vampirski broj . ciji su faktorii njegovi glavni cimbenici.

Prvih nekoliko primarnih vampirskih brojeva su:


117067, 124483, 146137, 371893, 536539

Prvih 15 vampirskih brojeva koji imaju dva para zapisa

125460 = 204 * 615 = 246 * 510

12054060 = 2004 *6015 = 2406 * 5010

12600324 = 2031 * 6204 = 3102 * 4062

13002462 = 2031 * 6402 = 3201 * 4062

23287176 = 2673 * 8712 = 3267* 7128

26373600 = 3600 * 7326 = 3663 * 7200

46847920 = 4760 *9842 = 6290 * 7448

1001795850 = 10170 * 98505 = 19701* 50850

11930170 = 1301 * 9170 = 1310*9107

12417993 = 1317* 9429 = 1347* 9219

12827650 = 1826 * 7025 = 2075* 6182

22569480 = 2649* 8520 = 4260* 5298

26198073 = 2673* 9801 = 3267* 8019

26839800 = 2886*9300 = 3900* 6882

61360780 = 7130* 8606 = 7613*8060



Vampirski broj sa 70 cifara ima 100025 parova

06778134504616069299297958421594833536305697278312 8881420721375504640

= 10678480810942174645657393025226495 * 99993750417382556182683103817340672

= 10678627541790580122508405533952248 * 99992376442330371917154164866387680

= 10678870645463554371658209457751760 * 99990100123533226388114347982829264

= 10678925660351864576350317228737136 *99989585002034549234496184711872240

= 10679051531926761484527503920563120 * 99988406447319285718532648847633072

= 10679070628515510276363214421074560 *99988227645479313532487533888609194

= 10679277844716332381108925372508482 *99986287516103441645630395905467520

= 10679542601279227006934138728832640 * 99983808755841163513535641459770426

= 10679621271352355185449739854675480 *99983072237818042661261004507343968
.....

= 32676369193453808819526186585907440 * 32677478294010514277129531489030256

Fred Roushe i Douglas Rogers prvi su pronasli obrazac za generiranje beskonacno mnogo pravih vampirskih brojeva


10524208 = 2501 · 4208

1005240208 = 25001 · 40208

.....

1·102n+3+524·10n+1+208 = (25·10 n+1· (40·10n+208)

Imate gajbu piva 20 komada i pred vama je zadatak.

Tih 20 piva treba popiti u 5 dana ali svaki dan morate barem jednu pivu popiti a broj piva kojih popijete nesmije biti paran. Znaci moze biti minimum piva dnevno a ni jedan dan nesmije biti paran broj koje ste popili.


Evo zasto ja ne mogu popiti pive na taj nacin

Ovdje imamo 5 neparnih brojeva. Zbir tih brojeva daje neparan broj.

2n+1+2m+1+2p+1+2r+1+2k+1=2(m+n+p+r+k+2)+1

Svestenik ima neobican nacin molitve: Popne se na sredisnji stepenik nekih stepenica i meditira, potom se popne 8 stepenika, sidje 12 stepenika i uzme kamencic, popne se jedan stepenik i baci kamencic preko ramena. Potom se penje po 3 stepenika i napravi 9 koraka do vrha.
Koliko ima stepenika


x/2+8-12+1+27=x
x/2+24=x
x+48=2x
x=48
stepenica ima 48+1=49

Ferdinand Gotthold Eisenstein (16.4.1823.-11.10.1852.), njemačkog matematičara koji je briljirao u teoriji brojeva i analizi te došao do rezultata problema koje čak ni Gauss nije mogao odgonetnuti. Rođen je i odrastao u Berlinu u tadašnjoj Prusiji, te je odmalena pokazivao interes za matematiku i glazbu. Nakon završenog školovanja, 1844. g. objavio je preko 23 znanstvena rada koji uključuju 2 matematička problema, 2 dokaza zakona kvadratne uzajamnosti te analogne zakone kvadratne i kubične uzajamnosti, kao i mnoge druge. 1848. godine pritvoren je zbog revolucionarnih aktivnosti, što je jako oštetilo njegovo ionako krhko zdravlje a poveznica sa republikanskim ciljem mu je gotovo potpuno onemogućila pronalazak patrona voljnih da stipendiraju njegov daljnji rad. Suočen sa lošim financijskim stanjem i lošeg zdravlja, ipak nastavio pisati radove o kvadratnim particijamaprostih brojeva i zakonima uzajamnosti. Preminuo je od tuberkoloze u 29-toj godini života. 

Poamatrajmo niz

25, 49, 81, 121, 169, 225

Opsti clan niza je
a_n= 4n² + 12n + 9

sta jos mozemo primjetiti
49-25=24
81-49=32
121-81=40
169-121=48
225-169=56

odnosno imamo niz
24, 32, 40, 48, 56

ponovimo postupak

32-24=8
40-32=8
48-40=8
56-48=8

na kraju imamo niz sastavjen od brojeva 8

Simbol ∅ je uvela Bourbaki grupa kao znak za prazan skup. Uz ovu oznaku se koristi i oznaka { }.

Tako se u osnovnoj skoli nauci da je ∅ ili { } oznaka za ptazan skup - ali da {∅} nije prazan skup! Naime, {∅}, kao sto to threshold dobro primjeti, predstavlja skup (kolekciju) ciji je jedini element prazan skup. Odakle skup ciji je element prazan skup? Pa eto, dopustimo li da postoje skupovi (kolekcije) ciji su elementi skupovi, tada mozemo definirati partitivni skup kao skup svih podskupova nekog skupa. Tada partitivni skup ima 2^n elemenata gdje je n broj elemenata (kardinalni broj) originalnog skupa (ukoliko je isti konacan - ukoliko nije, moze se izvesti analogija sa ordinalnim brojevima).

Partitivni skup skupa A={a,b,c} je P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} (primjetimo da je prazan skup podskup svakog skupa!)

Partitivni skup skupa ∅ je onda P(∅)={∅}. Eto naseg skupa ciji je (jedini) element prazan skup.

25 - 55  +(85 +65)=
-30+150=120= 1*2*3*4*5=5!

Koliko je