Haoss forum: Pravo mesto za ljubitelje dobre zabave i druženja, kao i diskusija o raznim životnim temama.
 
PrijemTražiRegistruj sePristupiHimna Haoss ForumaFacebook


Delite | 
 

 Diferencijalne jednacine

Pogledaj prethodnu temu Pogledaj sledeću temu Ići dole 
AutorPoruka
Black Wizard

Master
Master

avatar

Muški
Poruka : 31998

Učlanjen : 30.03.2011


Diferencijalne jednacine Empty
PočaljiNaslov: Diferencijalne jednacine   Diferencijalne jednacine Sat610Čet 17 Maj - 15:19

Diferencijalne jednacine prvog reda




1.1 Razdvojene promenljive

Diferencijalne jednacine Diffeq001

Diferencijalne jednacine Diffeq002


U opštem slučaju:

Diferencijalne jednacine Diffeq003



1.2 Homogena diferencijalna jednačina

Diferencijalne jednacine Diffeq004

Smenom: Diferencijalne jednacine Diffeq005 polazna jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq006

tj. diferencijalna jednačina oblika.

**Primedba** - Diferencijalna jednačina oblika:

Diferencijalne jednacine Diffeq007

gde je a, b, c, A, B, C = const, može se svesti na jednačinu oblika . Moguća su dva slučaja:

1. Slučaj

Ako je Diferencijalne jednacine Diffeq008 smenom: Diferencijalne jednacine Diffeq009 jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq010

Sistem jednačina:

Diferencijalne jednacine Diffeq011

ima rešenje po a i b pa jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq012 a to je jednačina oblika .


2. Slučaj

Neka je Diferencijalne jednacine Diffeq013 , tj. Diferencijalne jednacine Diffeq014 gde je k konstanta. Smenom Diferencijalne jednacine Diffeq015 , gde je u nova nepoznata f-ja promenljive x. Jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq016 odnosno jednačina oblika .



1.3 Linearna diferencijalna jednačina

Diferencijalne jednacine Diffeq017

Ako je Diferencijalne jednacine Diffeq018 jednačina se naziva homogena linearna diferencijalna jednačina.


1. Slučaj


Homogena jednačina:

Diferencijalne jednacine Diffeq019

za Diferencijalne jednacine Diffeq020 postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq021

tj. jednačina oblika čije je rešenje:

Diferencijalne jednacine Diffeq022

Može se uzeti Diferencijalne jednacine Diffeq023 kao rešenje jednačine.


2. Slučaj

Da bi rešili pretpostavimo Diferencijalne jednacine Diffeq024:

Diferencijalne jednacine Diffeq025

Diferencijalne jednacine Diffeq026

ako se jn-e i zamene u dobija se:

Diferencijalne jednacine Diffeq027

odnosno:

Diferencijalne jednacine Diffeq028

pa je opšte rešenje jednačine:

Diferencijalne jednacine Diffeq029

U eksplicitnom obliku opšte rešenje jednačine dato je kao:

Diferencijalne jednacine Diffeq030

tj. rešenje je izraženo kao linearna funkcija integracione konstante.



1.4 Bernulijeva jednačina

Diferencijalne jednacine Diffeq031

Gde je Diferencijalne jednacine Diffeq032 , za Diferencijalne jednacine Diffeq033jednačina postaje linearna.

Uvođenjem smene Diferencijalne jednacine Diffeq034 , gde je z nova nepoznata f-ja a k konstanta, jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq035

Diferencijalne jednacine Diffeq036

Konstantu k treba izabrati tako da je:

Diferencijalne jednacine Diffeq037

Posle ove smene jednačina glasi:

Diferencijalne jednacine Diffeq038

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine Diffeq039

Prema tome, opšte rešenje Bernulijeve jednačine može se izraziti u eksplicitnom obliku:

Diferencijalne jednacine Diffeq040



1.5 Rikartijeva jednačina

Diferencijalne jednacine Diffeq041

Za Diferencijalne jednacine Diffeq042 jednačina postaje Bernulijeva jednačina , odnosno linearna jednačina . U opštem slučaju jednačina se ne može rešiti.

Ako je poznato jedno partikularno rešenje može se dobiti i opšte rešenje jednačine .

Smenom Diferencijalne jednacine Diffeq043 , gde je y1(x) jedno partikularno rešenje a z nova nepoznata funkcija jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq044

Diferencijalne jednacine Diffeq045

a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine Diffeq046

Prema tome opšte rešenje Rikartijeve jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine Diffeq047

gde je C proizvoljna konstanta a F, G, H i K određene funkcije.



1.6 Klerova jednačina

Diferencijalne jednacine Diffeq048

Smenom Diferencijalne jednacine Diffeq049 jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq050

odakle se, nakon diferenciranja po x, dobija:

Diferencijalne jednacine Diffeq051

1. Slučaj

Ako je Diferencijalne jednacine Diffeq052 pa na osnovu jednačine opšte rešenje jednačine ima oblik:

Diferencijalne jednacine Diffeq053


2. Slučaj

Ako je Diferencijalne jednacine Diffeq054 eliminacijom p iz jednačina Diferencijalne jednacine Diffeq055 dobija se singularno rešenje jednačine koje nije izraženo u opštem rešenju.



1.7 Lagranževa jednačina

Diferencijalne jednacine Diffeq056

Ova jednačina se rešava slično kao i Klerova. Posle smene Diferencijalne jednacine Diffeq049 jednačina dobija oblik:

Diferencijalne jednacine Diffeq057

odakle se, nakon diferenciranja, dobija:

Diferencijalne jednacine Diffeq058

Diferencijalne jednacine Diffeq059

Ako je Diferencijalne jednacine Diffeq060 jednačina je Klerova, pretpostavimo onda da je Diferencijalne jednacine Diffeq061 tada jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq062

a to je linearna jednačina. Jednačina ima rešenje oblika

Diferencijalne jednacine Diffeq063

pa je opšte rešenje Lagranževe jednačine u parametarskom obliku:

Diferencijalne jednacine Diffeq064



1.8 Jednačina prvog reda drugog stepena

Diferencijalne jednacine Diffeq065

Ako se jednačina može napisati u obliku:

Diferencijalne jednacine Diffeq066

tada se rešavanje jednačine svodi na rešavanje dve jednačine prvog stepena:

Diferencijalne jednacine Diffeq067

Opšta rešenja ovih jednačina su Diferencijalne jednacine Diffeq068 pa je opšte rešenje jednačine :

Diferencijalne jednacine Diffeq069

gde je C proizvoljna konstanta.



1.9 Totalni diferencijal

Diferencijalne jednacine Diffeq070

gde funkcije P i Q imaju neprekidne parcijalne izvode po x i z. Ako postoji funkcija u(x,y) takva da važi:

Diferencijalne jednacine Diffeq071

tada se jednačina naziva jednačina sa totalnim diferencijalom, ili egzaktna diferencijalna jednačina..

Opšte rešenje egzaktne diferencijalne jednačine određeno je relacijom:

Diferencijalne jednacine Diffeq072

gde je C proizvoljna konstanta.

Da bi se odredila funkcija u, za koju važi , treba poći od jednakosti:

Diferencijalne jednacine Diffeq073

odakle se, upoređivanjem sa dobija:

Diferencijalne jednacine Diffeq074

odnosno:

Diferencijalne jednacine Diffeq075


Ovi mešoviti izvodi su po pretpostavci neprekidni pa su i jednaki, pa je, prema tome, Diferencijalne jednacine Diffeq076 potreban uslov da jednačina bude sa totalnim diferencijalom.

Ako je ovaj uslov ispunjen iz prve jednačine u dobija se:

Diferencijalne jednacine Diffeq077

gde je f(y) neprekidna funkcija. Diferenciranjem izraza dobija se:

Diferencijalne jednacine Diffeq078

Diferencijalne jednacine Diffeq079

Druga jednačina u i jednačina daju:

Diferencijalne jednacine Diffeq080

gde je K proizvoljna konstanta.

Konačno se dobija:

Diferencijalne jednacine Diffeq081

pa je opšte rešenje jednačine dato sa:

Diferencijalne jednacine Diffeq082

gde je C proizvoljna konstanta.



svetnauke.org
Nazad na vrh Ići dole
Black Wizard

Master
Master

avatar

Muški
Poruka : 31998

Učlanjen : 30.03.2011


Diferencijalne jednacine Empty
PočaljiNaslov: Diferencijalne jednačine drugog reda   Diferencijalne jednacine Sat610Čet 17 Maj - 17:30

Diferencijalne jednačine drugog reda

Metodi resavanja najpoznatijih tipova obicnih diferencijalnih jednacina drugog reda.




2.1 Slučaj svođenja na jednačinu prvog reda

Opšta diferencijalna jednačina drugog reda ima oblik:

Diferencijalne jednacine Diffeq083

U nekim slučajevima jednačina može se svesti na diferencijalnu jednačinu prvog reda.

1. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq084

Pomoću smene Diferencijalne jednacine Diffeq085 ova jednačina se svodi na jednačinu prvog reda oblika:

Diferencijalne jednacine Diffeq086.


2. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq087

Za rešavanje ovakve jednačine treba koristiti smenu Diferencijalne jednacine Diffeq088 . Tada se dobija Diferencijalne jednacine Diffeq089. Tada polazna jednačina postaje jednačina prvog reda:

Diferencijalne jednacine Diffeq090.



2.2 Homogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Diferencijalne jednacine Diffeq091

Rešenje jednačine treba tražiti u obliku Diferencijalne jednacine Diffeq092 , gde je l konstanta. Odavde se dobija Diferencijalne jednacine Diffeq093 pa jednačina dobija oblik:

Diferencijalne jednacine Diffeq094

Diferencijalne jednacine Diffeq095

Dakle, Diferencijalne jednacine Diffeq096 je rešenje jednačine ako l zadovoljava tzv. karakterističnu jednačinu .

Moguća su tri slučaja:

1. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq097 tada su Diferencijalne jednacine Diffeq098 linearno nezavisna rešenja jednačine pa je opšte rešenje jednačine dato sa:

Diferencijalne jednacine Diffeq099

gde su C1 i C2 proizvoljne konstante.


2. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq100 tada je Diferencijalne jednacine Diffeq101 (Diferencijalne jednacine Diffeq102). Na osnovu prethodnog slučaja rešenje jednačine može se izraziti u obliku:

Diferencijalne jednacine Diffeq103

Pošto je Diferencijalne jednacine Diffeq104 rešenje može se transformisati u sledeći oblik:

Diferencijalne jednacine Diffeq105

Diferencijalne jednacine Diffeq106

gde su A i B proizvoljne konstante.


3. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq107 u ovom slučaju partikularna rešenja Diferencijalne jednacine Diffeq108 jednačine su linearno nezavisna pa opšte rešenje glasi:

Diferencijalne jednacine Diffeq109.



2.3 Nehomogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Diferencijalne jednacine Diffeq110

Rešenje odgovarajuće homogene jednačine, oblika , može se uvek odrediti pa se uvek može odrediti i rešenje jednačine . U opštem slučaju za rešavanje ove jednačine koristi se metod varijacije konstanata, ali za neke specijalne oblike funkcije h(x) taj metod se može izbeći:

1. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq111

Ako je Diferencijalne jednacine Diffeq112 partikularno rešenje jednačine treba tražiti u obliku polinoma:

Diferencijalne jednacine Diffeq113

Koeficijenti polinoma polinoma dobijaju se metodom neodređenih koeficijenata.

Ako je Diferencijalne jednacine Diffeq114 partikularno rešenje treba tražiti u obliku:

Diferencijalne jednacine Diffeq115

Za Diferencijalne jednacine Diffeq116 rešenje jednačine dobija se direktnom integracijom.


Metod neodređenih koeficijenata

Naći sve izvode rešenja:

Diferencijalne jednacine Diffeq117

Sve dobijene izvode vratiti u jednačinu a zatim izjednačiti koeficijente uz odgovarajuće članove.


2. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq118

U zavisnosti od rešenja karakteristične jednačine:

Diferencijalne jednacine Diffeq095

partikularno rešenje treba tražiti u obliku:

(a) Diferencijalne jednacine Diffeq119

(b) Diferencijalne jednacine Diffeq120

(c) Diferencijalne jednacine Diffeq121

gde je K privremeno neodređena konstanta.


3. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq122

Ako ip nije koren karakteristične jednačine partikularno rešenje treba tražiti u obliku:

Diferencijalne jednacine Diffeq123

a ako jeste, onda rešenje tražiti u obliku:

Diferencijalne jednacine Diffeq124


4. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq125, gde je Pn(x) polinom n-tog stepena.

Ako a nije rešenje karakteristične jednačine tada je Diferencijalne jednacine Diffeq126, gde je Qn(x) polinom n-tog stepena sa neodređenim koeficijentima. Ako je a rešenje jednačine onda je Diferencijalne jednacine Diffeq127 , gde je r višestrukost rešenja a
(Diferencijalne jednacine Diffeq128).


5. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq129

Ako Diferencijalne jednacine Diffeq130 nije rešenje karakteristične jednačine uzeti:

Diferencijalne jednacine Diffeq131

gde su SN(x) i TN(x) polinomi stepena Diferencijalne jednacine Diffeq132.

U suprotnom slučaju, ako je Diferencijalne jednacine Diffeq130 rešenje karakteristične jednačine onda je:

Diferencijalne jednacine Diffeq133

gde je r višestrukost rešenja Diferencijalne jednacine Diffeq130 (za jednačine drugog reda Diferencijalne jednacine Diffeq134).



2.4 Ojlerova linearna jednačina drugog reda

Diferencijalne jednacine Diffeq135

Prvo treba rešiti odgovarajuću homogenu jednačinu:

Diferencijalne jednacine Diffeq136

Ako se pretpostavi da jednačina ima rešenje oblika Diferencijalne jednacine Diffeq137 (Diferencijalne jednacine Diffeq138 je parametar koji treba odrediti) tada je Diferencijalne jednacine Diffeq139pa jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq140

Diferencijalne jednacine Diffeq141

Razlikuje se nekoliko slučajeva:

1. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq142

Opšte rešenje jednačine glasi:

Diferencijalne jednacine Diffeq143

gde su C1 i C2 proizvoljne konstante.


2. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq144

U ovom slučaju, iz

Diferencijalne jednacine Diffeq145

dobija se opšte rešenje jednačine u obliku:

Diferencijalne jednacine Diffeq146

gde su A1 i A2 proizvoljne konstante.


3. Slučaj

Diferencijalne jednacine Diffeq147

U ovom slučaju partikularna rešenja jednačine su Diferencijalne jednacine Diffeq137 i Diferencijalne jednacine Diffeq148 pa opšte rešenje glasi:

Diferencijalne jednacine Diffeq149

gde su C1 i C2 proizvoljne konstante.


U sva tri slučaja prećutno je pretpostavljeno da je Diferencijalne jednacine Diffeq150. Ako je Diferencijalne jednacine Diffeq151, treba poći od rešenja oblika Diferencijalne jednacine Diffeq152.

Opšte rešenje nehomogene jednačine dobija se iz opšteg rešenja homogene jednačine standardnim metodom varijacije konstanata.



svetnauke.org
Nazad na vrh Ići dole
EROTIC MAN

MODERATOR
MODERATOR

EROTIC MAN

Muški
Poruka : 36665

Učlanjen : 17.03.2015

Raspoloženje : kako ja hoću


Diferencijalne jednacine Empty
PočaljiNaslov: Re: Diferencijalne jednacine   Diferencijalne jednacine Sat610Sre 7 Avg - 21:16

nikad nisam voleo diferencijalne jednačine. previše su mi šablonske, nema tu nekog razmišljanja, kreativnosti, izazova. možda jedino malo da prepoznaš koja je, a onda udari šablon.

uostalom, po redu ćemo ih obići kad uvatimo malo vremena   study








sreća je kad je napolju sivilo




 a tebi u srcu duga




happy
Nazad na vrh Ići dole
EROTIC MAN

MODERATOR
MODERATOR

EROTIC MAN

Muški
Poruka : 36665

Učlanjen : 17.03.2015

Raspoloženje : kako ja hoću


Diferencijalne jednacine Empty
PočaljiNaslov: Re: Diferencijalne jednacine   Diferencijalne jednacine Sat610Sre 7 Avg - 22:11

1.1 Razdvojene promenljive

Diferencijalne jednacine Diffeq001

Diferencijalne jednacine Diffeq002


U opštem slučaju:

Diferencijalne jednacine Diffeq003


ove su najlakše, lako se prepoznaju i ako znaš dobro integrale nema problema. čas posla  happy








sreća je kad je napolju sivilo




 a tebi u srcu duga




happy
Nazad na vrh Ići dole
EROTIC MAN

MODERATOR
MODERATOR

EROTIC MAN

Muški
Poruka : 36665

Učlanjen : 17.03.2015

Raspoloženje : kako ja hoću


Diferencijalne jednacine Empty
PočaljiNaslov: Re: Diferencijalne jednacine   Diferencijalne jednacine Sat610Pet 16 Avg - 22:55

1.2 Homogena diferencijalna jednačina

Diferencijalne jednacine Diffeq004

Smenom: Diferencijalne jednacine Diffeq005 polazna jednačina postaje:

Diferencijalne jednacine Diffeq006

tj. diferencijalna jednačina oblika.








treba napomenuti  da se posle smene nastavlja rešavanje kao u slučaju razdvojenih promenjivih.  Laughing








sreća je kad je napolju sivilo




 a tebi u srcu duga




happy
Nazad na vrh Ići dole
Sponsored content




Diferencijalne jednacine Empty
PočaljiNaslov: Re: Diferencijalne jednacine   Diferencijalne jednacine Sat610

Nazad na vrh Ići dole
 
Diferencijalne jednacine
Pogledaj prethodnu temu Pogledaj sledeću temu Nazad na vrh 
Strana 1 od 1

Dozvole ovog foruma:Ne možete odgovarati na teme u ovom forumu
Haoss Forum :: Nauka :: Vreme nauke :: Društvene nauke-